; Let; ; ; ; G; G; ; ; ; be a finite group of Lie type (e.g.; ; ; ; ; G; ; L; n; ; (; ; ; F; ; q; ; ); ; GL_n(mathbb {F}_q); ; ; ; ) and; ; ; ; U; U; ; ; ; a maximal unipotent subgroup of; ; ; ; G; G; ; ; ; . If; ; ; ; ; ψ; ; ; psi; ; ; ; is a linear character of; ; ; ; U; U; ; ; ; , then the unipotent Hecke algebra is; ; ; ; ; ; ; H; ; ; ψ; ; ; ; =; ; ; E; n; d; ; ; ; C; ; G; ; ; (; ; ; I; n; d; ; U; G; ; (; ; ψ; ; ; ); ); ; mathcal {H}_psi =mathrm {End}_{mathbb {C}G} (mathrm {Ind}_U^G(psi )); ; ; ; . Unipotent Hecke algebras have a natural basis coming from double cosets of; ; ; ; U; U; ; ; ; in; ; ; ; G; G; ; ; ; . This paper describes relations for reducing products of basis elements, and gives a detailed description of the implications in the case; ; ; ; ; G; =; G; ; L; n; ; (; ; ; F; ; q; ; ); ; G=GL_n(mathbb {F}_q); ; ; ; .;